Det gyllene förhållandet är en andel som har ansetts vara den mest perfekta och harmoniska sedan antiken. Det utgör grunden för många forntida strukturer, från statyer till tempel, och är mycket vanligt i naturen. Samtidigt uttrycks denna andel i förvånansvärt eleganta matematiska konstruktioner.
Instruktioner
Steg 1
Den gyllene proportionen definieras enligt följande: det är en sådan uppdelning av ett segment i två delar att den mindre delen hänvisar till den större på samma sätt som den större delen hänvisar till hela segmentet.
Steg 2
Om längden på hela segmentet tas som 1 och längden på den större delen tas som x, kommer den sökta proportionen att uttryckas av ekvationen:
(1 - x) / x = x / 1.
Genom att multiplicera båda sidor av proportionen med x och överföra termerna får vi den kvadratiska ekvationen:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
Steg 3
Ekvationen har två verkliga rötter, av vilka vi naturligtvis bara är intresserade av det positiva. Det är lika med (√5 - 1) / 2, vilket är ungefär lika med 0, 618. Detta tal uttrycker det gyllene förhållandet. I matematik betecknas det oftast med bokstaven φ.
Steg 4
Siffran φ har ett antal anmärkningsvärda matematiska egenskaper. Till och med från den ursprungliga ekvationen ser man att 1 / φ = φ + 1. Faktum är att 1 / (0, 618) = 1, 618.
Steg 5
Ett annat sätt att beräkna det gyllene förhållandet är att använda en oändlig bråkdel. Med utgångspunkt från alla godtyckliga x kan du sekventiellt konstruera en bråkdel:
x
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
etc.
Steg 6
För att underlätta beräkningarna kan denna bråk representeras som en iterativ procedur, för att beräkna nästa steg måste du lägga till en till resultatet av föregående steg och dela en med det resulterande numret. Med andra ord:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Denna process konvergerar och dess gräns är φ + 1.
Steg 7
Om vi ersätter beräkningen av det ömsesidiga med extraktionen av kvadratroten, det vill säga, utför vi en iterativ slinga:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1), då förblir resultatet oförändrat: oavsett den ursprungligen valda x konvergerar iterationerna till värdet φ + 1.
Steg 8
Geometriskt kan det gyllene förhållandet konstrueras med en vanlig femkant. Om vi ritar två skärande diagonaler i den, kommer var och en av dem att dela den andra strikt i det gyllene förhållandet. Denna iakttagelse, enligt legenden, tillhör Pythagoras, som var så chockad över det hittade mönstret att han ansåg att den korrekta femspetsiga stjärnan (pentagram) var en helig gudomlig symbol.
Steg 9
Anledningarna till att det är det gyllene förhållandet som verkar vara en person som är mest harmoniskt är okänt. Experiment har emellertid upprepade gånger bekräftat att de ämnen som fick instruktioner att dela upp segmentet i två ojämna delar vackrast gör det i proportioner mycket nära det gyllene förhållandet.
